% doumi answer paper : 1page % 
\documentclass[a4paper, onecolumn,10pt]{article}
\usepackage{tstudypaper-onlinewithanswer-two-doumi}
\settitle{???, ??? ????}
\begin{document}
\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{40543}{x}
다음 중 이차방정식이 \underline{아닌} 것은? \point{null}{7}
\options
{\userCorrect $x(x-7)=x^{2} -7x$}
{$3x(x+2)=2x^{2} +x+1$}
{$(x+4)^{2} =2x^{2} +2x+1$}
{$(x+1)^{2} -3(x+1)=28$}
{$(x-1)(x+3)=3$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
\nth{1} $x( x-7)= x ^ {2} -7 x$ 의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면

$x( x-7)- x ^ {2} -7 x= 0$
\end{solution}

\begin{clue}
($x$ 에 관한 이차식)$= 0$ 의 꼴로 나타내어지는 식을 찾는다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{34301}{x}
두 수 또는 두 식 $A \cdot B = 0$인 것을 가장 알맞게 표현한 것은? \point{null}{7}
\options
{$A = 0$ 그리고 $B = 0$}
{$A \ne 0$ 그리고 $B = 0$}
{$A = 0$ 그리고 $B \ne 0$}
{\userCorrect \checked $A = 0$ 또는 $B = 0$}
{$A \ne 0$ 그리고 $B \ne 0$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
$A \cdot B = 0$가 성립하려면 $A ,\ B$ 중 적어도 어느 하나는 $0$ 이 되어야 한다.\\이를 표현한 것은 \nth{4}이다.
\end{solution}

\begin{clue}
$A \times B= 0$이 성립하려면 $A,\ B$  중 적어도 하나는 $0$이어야 한다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{34244}{x}
$x$ 에 관한 이차방정식 $x ^ {2} -4 x+ a = 0$ 의 한 근이 $3$ 일 때, $a$ 의 값과 다른 한 근의 차를 구하면? \point{null}{7}
\options
{\userCorrect \checked $2$}
{$3$}
{$4$}
{$5$}
{$6$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
$3 ^ {2} -4 \times 3+ a = 0 \qquad \therefore \ a = 3$ 

$x ^ {2} -4 x+3 =0$\\
$( x-3)( x-1) = 0$ 

따라서 다른 한 근은 $1$이다.

$\therefore \ 3-1 = 2$
\end{solution}

\begin{clue}
주어진 해(근)는 주어진 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값이다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{38528}{x}
두 이차방정식 $x ^ {2} - ax+3= 0,\ x ^ {2} +2 x- b= 0$ 의 공통근이 $x= 1$ 일 때, $a- b$의 값은? \point{null}{6}
\options
{$0$}
{$-1$}
{\userCorrect \checked $1$}
{$3$}
{$4$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
$x ^ {2} - ax+3= 0$, $x ^ {2} +2 x- b= 0$ 에

$x= 1$ 을 대입하면 $a= 4,\ b= 3$ 

$\therefore \ a- b=4-3= 1$
\end{solution}

\begin{clue}
두 이차방정식에 공통근을 대입하여 $a, \ b$의 값을 구한다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{13690}{x}
다음에 주어진 이차방정식 중 중근을 갖는 것은?

\titledbox[보기]{
 \list
{$x ^ {2} - 4 x + 4 = 0$}
{$x ^ {2} = \dfrac {2} {3} x - \dfrac {1} {9}$} 
{$x ^ {2} + 8 x + 16 = 0$}
{$x ^ {2} + 6 x = 9$} 
{$\dfrac {1} {4} x ^ {2} + \dfrac {1} {5} x + \dfrac {1} {25} = 0$}
 \endlist 

} \point{null}{6}
\options
{\mth{1}}
{\mth{1},\ \mth{2}}
{\mth{1},\ \mth{3},\ \mth{5}}
{\userCorrect \checked \mth{1},\ \mth{2},\ \mth{3},\ \mth{5}}
{\mth{1},\ \mth{2},\ \mth{3},\ \mth{4},\ \mth{5}}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
중근을 가지려면 (완전제곱식)$= 0$의 꼴이어야 한다.

\tstexpl{\mth{1}} {$x^2 -4 x +4= 0~ \Rightarrow ~( x-2)^2 = 0 $\\ $\therefore ~ x= 2$  (중근)}

\tstexpl{\mth{2}} {$x ^ {2} = \dfrac {2} {3} x- \dfrac {1} {9} ~ \Rightarrow ~9 x ^ {2} -6 x+1 = 0$ \\
$(3 x-1)^2 = 0$ \\
 $\therefore ~ x= \dfrac {1} {3}$  (중근)}

\tstexpl{\mth{3}} {$x ^ {2} +8 x+16 = 0~ \Rightarrow ~( x+4) ^ {2} = 0$ \\ 
 $\therefore ~ x = -4$  (중근)}

\tstexpl{\mth{5}} {$\dfrac {1} {4} x ^ {2} + \dfrac {1} {5} x+ \dfrac {1} {25} = 0$의 양변에 $100$을 곱하면\\
$25 x ^ {2} +20 x+4 = 0$,\ $(5 x+2)^2 = 0$\\
$\therefore ~ x= - \dfrac {2} {5}(중근)$}
\end{solution}

\begin{clue}
이차방정식의 두 근이 중복되어 서로 같을 때, 이 근을 중근이라 한다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{40523}{x}
$x$ 에 관한 이차방정식 $x^2 +8 x+15- m = 0$ 이 중근을 갖도록 $m$ 의 값을 구하면? \point{null}{5}
\options
{$0$}
{$1$}
{\userCorrect \checked $-1$}
{$2$}
{$-2$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
$x ^ {2} +8 x+15- m= 0 $\\
$4 ^ {2} = 15- m$\\
$ \therefore m= -1$
\end{solution}

\begin{clue}
$( \text {완전제곱식} )= 0$ 의 꼴로 나타내어지면 중근을 갖는다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{21978}{x}
이차방정식 $3( x+2) ^ {2} = 6$ 의 두 근의 합을 구하면? \point{null}{6}
\options
{$-5$}
{\userCorrect \checked $-4$}
{$-3$}
{$-2$}
{$-1$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
$\begin{tstarray}[t]{ll}
3( x+2) ^ {2}  = 6\\
( x+2) ^ {2}  = 2\\
x+2= \pm \sqrt {2} \\
\therefore ~ x = -2± \sqrt {2}
\end{tstarray}$

따라서 두 근의 합은 $-4$ 이다.
\end{solution}

\begin{clue}
이차방정식의 두 근을 구한다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{21995}{x}
이차방정식 $x ^ {2} +5 x-9= 0$ 을 $( x+ P) ^ {2} = Q$ 의 꼴로 고칠 때, $P+2 Q$ 의 값을 구하면? \point{null}{6}
\options
{$-33$}
{$-12$}
{$-4$}
{$0$}
{\userCorrect \checked $33$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
$x ^ {2} +5 x-9= 0$ 

$\left( x+ \dfrac {5} {2} \right) ^ {2} = \dfrac {61} {4}$ 

$\therefore ~ P= \dfrac {5} {2} ,~ Q= \dfrac {61} {4}$ 

$\therefore ~ P+2 Q= \dfrac {5} {2} + \dfrac {61} {2} = 33$
\end{solution}

\begin{clue}
완전제곱식으로 바꾼다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{21949}{x}
이차방정식 $x ^ {2} -8 x+15= 0$ 의 두 근을 $a, b$ 라고 할 때, 다음 중 $a+2, b+2$ 를 두 근으로 갖는 이차항의 계수가 $1$인 이차방정식은? \point{null}{4}
\options
{$x ^ {2} -2 x-35= 0$}
{$x ^ {2} +2 x-35= 0$}
{\userCorrect \checked $x ^ {2} -12 x+35= 0$}
{$x ^ {2} +12 x+35= 0$}
{$x ^ {2} -4 x-30= 0$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
\begin{array}[t]{ll}
x ^ {2} -8 x+15  = 0\\
 ( x-5)( x-3)  = 0\\
\end{array}

$a= 5,~ b= 3$

$\therefore a+2= 7,~ b+2= 5$ 

따라서 5, 7을 두 근으로 하는 이차방정식은

$( x-7)( x-5)  = 0$

$\therefore\  x ^ {2} -12 x+35  = 0$
\end{solution}

\begin{clue}
이차방정식을 풀어 두 근을 우선 구한다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{13841}{x}
$x$ 에 관한 이차방정식 $2 x ^ {2} - px-3 p= 0 \left( p \ne 0 \right)$ 의 한 근이 $2 p$ 일 때, $x$ 의 값을 구하면? \point{null}{4}
\options
{$x = -2$  또는 $x = 1$}
{\userCorrect \checked $x= - \dfrac {3} {4}$  또는 $x= 1$}
{$x= \dfrac {4} {3}$  또는 $x = 4$}
{$x= \dfrac {3} {4}$  또는 $x= 1$}
{$x= \dfrac {3} {4}$  또는 $x= -1$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
$x= 2 p$ 를 방정식에 대입하면

$8 p^2 - 2 p^2 -3 p= 0$ 

$6 p^2 - 3 p= 0$ 

$3 p(2 p-1)= 0$ 

$p= \dfrac {1} {2} ~~~( \because ~ p \ne 0)$ 

$2 x^2 - \dfrac {1} {2} x - \dfrac {3} {2} = 0$ 

$4 x^2 - x -3= 0$ 

$(4 x+3)( x-1)= 0$ 

$\therefore ~ x= - \dfrac {3} {4}$  또는 $x= 1$ 
\end{solution}

\begin{clue}
$2 x ^ {2} - px -3 p = 0 \left( p \ne 0 \right)$ 식에 $x$ 에 $2 p$ 를 대입하여 $p$ 값을 구하고, 

구한 $p$ 값을 다시 $2 x ^ {2} - px -3 p = 0 \left( p \ne 0 \right)$  식에 대입하여 $x$ 를 구한다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{388180}{x}
두 이차방정식 $2 x ^ {2} - ax+2= 0$, $x ^ {2} -3 x+ b= 0$의 공통인 해가 $2$일 때, $ab$ 의 값을 구하면? \point{null}{4}
\options
{$-25$}
{$-10$}
{$1$}
{\userCorrect $10$}
{$25$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
주어진 식에 $x$ 대신 $2$ 를 대입하면


$\begin{tstarray}[t]{ll}

8-2 a+2= 0,~~ a= 5\\
4-6+ b= 0,~~ b= 2\\
\therefore ab= 10
\end{tstarray}$
\end{solution}

\begin{clue}
두 이차방정식에 공통인 해를 대입한다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{61249}{x}
이차방정식 $( x-1) ^ {2} = 3- k$ 의 근에 대한 설명 중 옳지 \uline{않은} 것은? \point{null}{4}
\options
{$k = -6$ 이면 근이 $2\DDgae$이다.}
{$k = -1$ 이면 정수인 근을 갖는다.}
{$k = 0$ 이면 무리수인 근을 갖는다.}
{\userCorrect $k = 2$ 이면 근이 $1\DDgae$이다.}
{$k = 4$ 이면 근이 없다.}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
$( x-1) ^ {2} = 3- k ,\ x-1 = \pm \sqrt {3-} k$\\       
$\therefore \ x = 1 \pm \sqrt {3-} k$ \\
음수의 제곱근은 존재하지 않으므로 근호 안에 있는 수는 음수가 될 수 없다.    

$\begin{tstarray}[t]{ll}
 3 > k : \text{근이} \ 0 \DDgae\\
 k = 3 : \text{근이} \ 1 \DDgae\\
3 < k : \text{근이} \ 2 \DDgae\\
\end{tstarray}$
\end{solution}

\begin{clue}

\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{22009}{x}
이차방정식 $x ^ {2} +2 x+ A= 0$ 의 근이 $x= 2$  또는 $x= -4$ 일 때, $A$ 의 값을 구하여라. \point{null}{3}
\options
{\userCorrect \checked $-8$}
{$-6$}
{$-2$}
{$6$}
{$8$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
$( x-2)( x+4)= 0$ 

$x ^ {2} +2 x-8= 0,~ A= -8$
\end{solution}

\begin{clue}
주어진 값을 근으로 하는 $x ^ {2}$ 의 계수가 $1$ 인 이차방정식을 세운다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{13882}{x}
이차방정식 $x- \dfrac {3} {x} = 6$ 의 두 근을 $p,~ q$ 라고 할 때 $( p ^ {2} -6 p+5)( q ^ {2} -6 q+3)$ 의 값을 구하면?\par \point{null}{3}
\options
{$12$}
{$24$}
{$36$}
{\userCorrect \checked $48$}
{$50$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
$x- \dfrac {3} {x} = 6$ 의 양변에 $x$ 를 곱하면 $x ^ {2} -6 x -3 = 0$  \par
$x= p$ , $x= q$ 를 각각 대입하면\par
$p^2 - 6 p-3= 0$에서   $p^2 -6 p= 3$ \par
$q^2 -6 q-3= 0$에서   $q^2 -6 q= 3$ \par
$\therefore ~( p ^ {2} -6 p+5)( q ^ {2} -6 q+3) = (3+5)(3+3) = 48$ 
\end{solution}

\begin{clue}
$x- \dfrac {3} {x} = 6$ 의 양변에 $x$ 를 곱한다.
\end{clue}

\end{tst}

\begin{tst}{15mm}

\begin{dummyQA}
\begin{question}{1}{44806}{x}
이차방정식 $\dfrac {1} {12} x- \dfrac {1} {3} = \dfrac {3} {2 x}$ 의 양의 근을 $\alpha$ 라고 할 때, $\alpha ^ {2} +4 \alpha$ 의 값은? \point{null}{3}
\options
{$24+5\sqrt{21}$}
{$26+6\sqrt{23}$}
{$28+7\sqrt{26}$}
{$32+8\sqrt{23}$}
{\userCorrect $34+8\sqrt{22}$}
\endoptions
\end{question}
\end{dummyQA}
\begin{solution}
$\dfrac {1} {12} x- \dfrac {1} {3} = \dfrac {3} {2 x}$ 의 양변에 $12 x$ 를 곱하면 \\ $x ^ {2} -4 x-18= 0$ \par
$x ^ {2} -4 x+4= 18+4\\
 ( x-2) ^ {2} = 22\\
\therefore \ x= 2 \pm \sqrt {22}$\\
$\alpha$ 는 양의 근이므로 $\alpha = 2+ \sqrt {22}$ \par
$\therefore \ \alpha ^ {2} +4 \alpha = 34+8 \sqrt {22}$
\end{solution}

\begin{clue}
$\dfrac {1} {12} x- \dfrac {1} {3} = \dfrac {3} {2 x}$ 의 양변에 $12 x$ 를 곱하기
\end{clue}

\end{tst}

\end{document}