(1) 지수법칙

지수법칙

01

여러분의 연습장은 대개 [eqn: rm B5]라고 불리는 사이즈의 종이이다. [eqn: rm B5]는 대략 가로의 길이는 [eqn: 182 rm mm]이고, 세로의 길이는 [eqn: 257 rm mm]이다. [eqn: rm B5] 한 장의 두께는 각 종이의 종류(책 표지로 많이 사용되는 아트지, 일반적인 복사용지인 모조지, 봉투나 포장용으로 사용되는 크래프트지 등)에 따라 다르다. 모조지의 종류는 [eqn: 70]/[eqn: 100]/[eqn: 150] 등으로 표시하는데, 각 숫자는 [eqn: rm 1m times 1m]의 크기의 종이의 무게를 의미한다. 즉 모조지 [eqn: 100]은 [eqn: rm 1m times 1m]의 무게가 [eqn: rm 100g]인 종이를 의미한다. 모조지 [eqn: 100]의 [eqn: rm B5] 한 장의 무게는 대략 [eqn: 4]~[eqn: 5rm g] 정도 된다.

연습장을 한 장 찢어서 반으로 접어보자. 그리고 반으로 접은 것을 다시 한 번 반으로 접어보자. 접을 수 있을 때까지 계속 반으로 접어보자.

(1) 각자 몇 번 접었는지 적어보아라. 그리고 몇 장이 겹쳐져 있는지 확인하여라.

(2) 유리는 손의 힘이 약해서 다섯 번 접었다. 그러자 옆에 앉은 민호가 유리의 종이를 가져가서 두 번 더 접어주었다. 유리가 접은 종이의 겹쳐진 장수에 몇 배를 하면 민호가 접은 종이의 겹쳐진 장수가 되는가?

(3) 유리는 민호가 돌려준 종이를 잡고 있을 힘이 없어서 한 번 폈다. 이때, 민호가 접어준 종이의 겹쳐진 장수는 유리가 편 종이의 겹쳐진 장수의 몇 배가 되는가?

(4) (2)의 풀이 과정을 보고 ①의 빈칸을, (3)의 풀이 과정을 보고 ②의 빈칸을 각각 채워라.

①  [eqn: 2 ^ box~~][eqn: times][eqn: 2 ^ box~~]=[eqn: 2 ^ box~~]                 ②  [eqn: 2 ^ box~~][eqn: div][eqn: 2 ^ box~~]=[eqn: 2 ^ box~~]

[정답]	(1) [eqn: 1]번-[eqn: 2]장, [eqn: 2]번-[eqn: 4]장, [eqn: 3]번-[eqn: 8]장, [eqn: 4]번-[eqn: 16]장, [eqn: 5]번-[eqn: 32]장, [eqn: 6]번-[eqn: 64]장, [eqn: 7]번-[eqn: 128]장 (2) [eqn: 4]배 (3) [eqn: 2]배 (4) ① [eqn: 5,~ 2,~ 7] ② [eqn: 7,~ 6,~ 1]
[풀이]	(1) [eqn: 1]번 접으면 [eqn: 2]장, [eqn: 2]번 접으면 [eqn: 2 times 2=4]장, 3번 접으면 [eqn: 2 times 2 times 2=8]장, … 으로 한 번 더 접을 때마다 겹쳐진 장수는 직전의 [eqn: 2]배 (2) 유리가 접은 종이의 겹쳐진 장수: [eqn: 2×2×2×2×2=32]장 민호가 접은 종이의 겹쳐진 장수: [eqn: 2×2×2×2×2×2×2=128]장 ∴ [eqn: 32 times box {~~}` =128]이므로 [eqn: 4]배 (3) 유리가 민호가 돌려준 종이를 한 번 폈으므로 겹쳐진 장수는 [eqn: 128 div box{~~}``=64]장 ∴ [eqn: 2]배 (4) ① [eqn: 2 ^5][eqn: times][eqn: 2 ^ 2]=[eqn: 2 ^7] ② [eqn: 2 ^ 7][eqn: div][eqn: 2 ^ 6]=[eqn: 2 ^ 1]

거듭제곱 : 같은 수나 문자를 거듭하여 곱한 것

밑 : 거듭제곱에서 거듭하여 곱한 수나 문자

지수 : 거듭제곱에서 거듭하여 곱한 횟수

[eqn: a^m + a^n != a^m+n]

[eqn: a^m times a^n != a^{m times n}]

[eqn: (a^m )^n != a^m^n]

거듭제곱으로 표현된 밑이 같은 수들의 나눗셈은 분수로 나타낸 후 약분한다.

음수의 거듭제곱에서는 지수에 따라 부호가 결정된다.

([eqn: -])의 지수가 짝수 ➜ ([eqn: +])

([eqn: -])의 지수가 홀수 ➜ ([eqn: -])

[eqn: (-2)^4 = 2^4], [eqn: (-2)^5 = -2^5]

지수법칙 1 - 지수의 합

(1) [eqn: m], [eqn: n]이 자연수일 때

□ [eqn: a^2 times a^3 =(a times a) times (a times a times a ) = a^5 = a^2+3]

(2) 밑이 다른 숫자 또는 문자일 때는 밑이 같은 것끼리 모아서 간단히 한다.

□ [eqn: x^2 times y^2 times x^3 times y^5 = x^2 times x^3 times y^2 times y^5 = x ^2+3 times y ^2+5 = x^5 y^7]

지수법칙 2 - 지수의 곱

[eqn: m], [eqn: n]이 자연수일 때

□ [eqn: (x^2 )^3 = x^2 times x^2 times x^2 = x^2+2+2 = x^6 = x^{2 times 3}]

지수법칙 3 - 지수의 차

[eqn: m], [eqn: n]이 자연수이고 [eqn: a!=0]일 때

① [eqn: m>n]이면 [eqn: a^m div a^n = a^m-n]

② [eqn: m=n]이면 [eqn: a^m div a^n = 1]

③ [eqn: m<n]이면 [eqn: a^m div a^n = 1 over a^n-m]

□ [eqn: a^5 div a^3 = a^5 over a^3 = {a times a times a times a times a} over {a times a times a } = a^2 = a^5-3]

[eqn: a^3 div a^3 = a^3 div a^3 = {a times a times a} over {a times a times a} = 1]

[eqn: a^3 div a^5 = a^3 over a^5 = {a times a times a } over {a times a times a times a times a} = 1 over a^2 = 1 over a^5-3]

지수법칙 4 - 지수의 분배

[eqn: n]이 자연수일 때

[eqn: (ab)^n = a^n b^n], [eqn: left ( a over b right ) ^n = a^n over b^n] (단, [eqn: b!=0])

□ [eqn: (a^2 b^3 )^2 = a^4 b^6], [eqn: left ( y^3 over x^2 right )^3 = y^9 over x^6]

☑ [eqn: a^n]의 곱셈

□ [eqn: left(a^m right)^n]의 곱셈

□ 지수법칙-[eqn: a^{m}]의 나눗셈

□ 지수법칙-[eqn: (a^{m})^{n}]의 나눗셈

□ [eqn: a^n]의 곱셈

☑ [eqn: left(a^m right)^n]의 곱셈

□ 지수법칙-[eqn: a^{m}]의 나눗셈

□ 지수법칙-[eqn: (a^{m})^{n}]의 나눗셈

[eqn: box{~~}`] 안에 들어갈 알맞은 수를 구하여라.

1

(1) [eqn: a^3 times a^5 `=`a^box{~~}`]

[정답]	(1) [eqn: 8] (2) [eqn: 3]
[풀이]	(1) [eqn: box{~~}`=`3+5`=`8] (2) [eqn: 4+2+box{~~}``=` 9] [eqn: therefore~```box{~~}``=`3]

(2) [eqn: x^4 times x^2 times x^box{~~}``=`x^9]

다음 식을 간단히 하여라.

2

(1) [eqn: x^3 times x^2]	(2) [eqn: a^3 times a^9 times a]

(3) [eqn: x^3 times y^4 times x times y^5]	(4) [eqn: (-2)^2 times (-2)^7]

[정답]	(1) [eqn: x^5] (2) [eqn: a^13] (3) [eqn: x^4 y^9] (4) [eqn: (-2)^9] (5) [eqn: 5^5]

(5) [eqn: 5^2 times 125]

[eqn: box{~~}`] 안에 들어갈 알맞은 수를 구하여라.

1

(1) [eqn: x^box{~~}` times (y^3 )^box{~~}` times (x^2 )^4 `=` x^17 y^6]

[정답]	(1) [eqn: 9,~2] (2) [eqn: 2]
[풀이]	(1) [eqn: x^ box{~~}` times y^{3 times box{~~}`} timesx^8 `=` x^{box{~~}`+8} timesy^{3 timesbox{~~}` } `=`x^17 y^6] [eqn: box{~~}` +8 `=` 17 ~~therefore```box{~~}` `=` 9] [eqn: 3 timesbox{~~}` `=` 6~~therefore```box{~~}`=`2] (2) [eqn: (a^4 )^3 times (a^5 )^box{~~}` `=` a^22 # 4times3 + 5 times`box{~~}` `=`22#12 + 5times`box{~~}``=`22#5 times`box{~~}` = 10#therefore```box{~~}``=`2]

(2) [eqn: (a^4 )^3 times (a^5 )^box{~~}` `=`a^22]

다음 식을 간단히 하여라.

2

(1) [eqn: (a^3 )^2 times (a^3 )^4]	(2) [eqn: x times (x^2 )^4 times (x^3 )^3]

[정답]	(1) [eqn: a^18] (2) [eqn: x^18] (3) [eqn: a^20 b^6] (4) [eqn: x^10 y^12]

(3) [eqn: (a^5 )^4 times (b^2 )^3]	(4) [eqn: (x^3 )^2 times (y^3 )^4 times (x^2 )^2]

□ [eqn: a^n]의 곱셈

□ [eqn: left(a^m right)^n]의 곱셈

☑ 지수법칙-[eqn: a^{m}]의 나눗셈

□ 지수법칙-[eqn: (a^{m})^{n}]의 나눗셈

□ [eqn: a^n]의 곱셈

□ [eqn: left(a^m right)^n]의 곱셈

□ 지수법칙-[eqn: a^{m}]의 나눗셈

☑ 지수법칙-[eqn: (a^{m})^{n}]의 나눗셈

다음 식을 간단히 하여라.

1

(1) [eqn: a^8 div a^2]	(2) [eqn: x^10 div (x^2 )^5]

(3) [eqn: x^4 div (x^2 )^5]	(4) [eqn: a^9 div a^3 div a^3]

[정답]	(1) [eqn: a^6] (2) [eqn: 1] (3) [eqn: 1 over x^6] (4) [eqn: a^3]

다음 [eqn: box~~] 안에 알맞은 수를 써넣어라.

2

[정답]	[eqn: 2]
[풀이]	[eqn: 3^5 div 3^{2 times box{~~}` } `=`3] [eqn: 3^{5-2timesbox{~~}`} `=` 3 `,~ 5-2 times box{~~}` `=`1``,~ 2timesbox{~~}``=`4] [eqn: therefore```box{~~}``=`2]

[eqn: 243 div 9^box{~~}` =`3]

다음 식을 간단히 하여라.

1

(1) [eqn: (-2ab^4 )^2]	(2) [eqn: (xy^2 )^3 times (x^3 y)^4]

(3) [eqn: left( yz over {x^2} right)^3]	(4) [eqn: left( {5c^2} over{ ab^3} right)^2]

[정답]	(1) [eqn: 4a^2 b^8] (2) [eqn: x^15 y^10] (3) [eqn: {y^3 z^3 } over x^6] (4) [eqn: {25c^4} over {a^2 b^6 }]

[eqn: (2x^a )^b = 16x^8]일 때, 상수 [eqn: a,~b`]의 값을 각각 구하여라.

2

[정답]	[eqn: a`=`2,~b`=`4]
[풀이]	[eqn: 2^b x^ab `=` 16x^8 ``,~ 2^b `=`16 `=` 2^4 ~~~~~therefore~b`=`4] [eqn: x^4a `=` x^8 ~~~~therefore~a`=`2]

다음 [eqn: box{~~}``] 안에 알맞은 수가 가장 큰 것을 고르면?

1

① [eqn: a^3 times a^box{~~}` `=`a^12]	② [eqn: (a^box{~~}`)^5 `=`a^10]

③ [eqn: a^box{~~}` div a^5 `=` a^2]	④ [eqn: a^6 div a^9 div a^2 `=` 1 over a^box{~~}`]

⑤ [eqn: (a^2 b^box{~~}`)^4 `=` a^8 b^20]

[정답]	①
[풀이]	① [eqn: 3+box{~~}`=12 `,~ box{~~}`=`9`] ② [eqn: box{~~}`times 5 `=` 10`,~box{~~}`=`2] ③ [eqn: box{~~}`-5`=`2 `,~box{~~}`=7] ④ [eqn: a^6 div a^9 div a^2 `=` a^6 over {a^9 times a^2} `=` 1 over a^5 `,~box{~~}``=`5`] ⑤ [eqn: (a^2 b^box{~~}`)^4 `=` a^8 b^20`,~ box{~~}`=`5]

[eqn: (x^7 )^2 div (x^a )^4 `=`x^2], [eqn: (y^b )^5 div y^15 `=`1], [eqn: (z^8 )^3 div (z^2 )^c div z`=` 1over z]일 때, [eqn: a+b+c`]의 값을 구하여라.

2

[정답]	[eqn: 18]
[풀이]	[eqn: (x^7 )^2 div (x^a )^4 `=` x^14 div x^4a `=`x^2] [eqn: 14-4a`=`2] [eqn: therefore ``a`=`3`] [eqn: (y^b )^5 div y^15 `=` y^5b div y^15`=`1] [eqn: 5b`=`15] [eqn: therefore ``b`=`3`] [eqn: (z^8 )^3 div (z^2 )^c div z `=` z^24 div z^2c div z `=` 1over z] [eqn: z^24 over {z^2c times z} `=` z^24 over z^2c+1 `=` 1 over z] [eqn: therefore ``2c+1 -24 `=`1 `,~c`=`12] [eqn: therefore ``a+b+c `=`3+3+12`=`18]

[eqn: 2^3 =A]일 때, [eqn: 64^4]을 [eqn: A]를 사용하여 나타내어라.

3

[정답]	[eqn: A^8]
[풀이]	[eqn: 64^4 `=` (2^6 )^4 `=` 2^24 `=`(2^3 )^8 `=` A^8]

[eqn: 2^a div 2^2 `=`64], [eqn: 5^7 + 5^7 +5^7 +5^7 +5^7 `=`5^b]일 때, [eqn: a-b`]의 값을 구하여라.

4

[정답]	[eqn: 0]
[풀이]	[eqn: 2^a-2 `=`64 `=` 2^6] [eqn: a-2 `=`6] [eqn: therefore `a`=`8] [eqn: 5^7 + 5^7 +5^7 +5^7 +5^7 `=`5 times 5^7 `=` 5^8 `=`5^b] [eqn: therefore ``b`=`8] [eqn: therefore `` a-b`=`8-8`=`0]

[정답]	[eqn: 16]
[풀이]	[eqn: {2^15 times (5times3)^30 } over {(5times3^2 )^15 }`=` {2^15 times 5^30 times 3^30 } over {5^15 times (3^2 )^15 } # =` {2^15 times 5^30 times 3^30 } over {5^15 times 3^30 } `=` 2^15 times 5^15 `=` (2times5)^15 `=` 10^15] [eqn: therefore `` n=16]

[eqn: {2^15 times 15^30 } over 45^15]이 [eqn: n]자리의 수일 때, [eqn: n]의 값을 구하여라.

5

다음 두 식을 모두 만족하는 상수 [eqn: a`,~b`]에 대하여 [eqn: b-a`]의 값을 구하여라.

6

[eqn: x^7 div x^2 times x^3 = x^a div x^4]

[eqn: left( y^2 overx^a right)^3 `=` y^6 over x^b]

[정답]

[eqn: 24]

[풀이]

[eqn: x^7 div x^2 times x^3 `=` x^5 times x^3 `=` x^8 `= x^a div x^4]

[eqn: 8`=`a-4]    [eqn: therefore ``a=12]

[eqn: left( y^2 overx^a right)^3 `=` y^6 over x^3a `=` y^6 over x^b] [eqn: 3a=b]  [eqn: therefore `` b=36]

[eqn: therefore ``b-a`=`36-12`=`24]

채점 기준	배점 비율
[eqn: a`,~b`]의 값을 구한 경우 각각	[eqn: 40%]씩
답을 구한 경우	[eqn: 20%]

[eqn: (a^3 b^x c^y )^4 `=` a^z b^12 c^20 `]일 때, [eqn: x+y+z`]의 값을 구하여라.

7

[정답]

[eqn: 20]

[풀이]

[eqn: a^12 b^4x c^4y = a^z b^12 c^20],   [eqn: z=12]

[eqn: 4x=12], [eqn: x=3]

[eqn: 4y=20], [eqn: y=5]

[eqn: therefore ``x+y+z =` 3+5+12 `=` 20]

채점 기준	배점 비율
[eqn: x]의 값을 구한 경우	[eqn: 30%]
[eqn: y]의 값을 구한 경우	[eqn: 30%]
[eqn: z]의 값을 구한 경우	[eqn: 30%]
답을 구한 경우	[eqn: 10%]

다음 중 옳은 것을 고르면?

01

① [eqn: a^m + a^m + cdots+a^m =a^m+n # LFLOOR ~~~~n개~~~ RFLOOR]

② [eqn: a^m - a^m +a^m -a^m +cdots-a^m =a]

③ [eqn: a^m div a^n = a^m-n = a^n over a^m] (단, [eqn: n>m])

④ [eqn: (a^n )^m times (a^m )^n = a ^ 2mn]

⑤ [eqn: a ^m (a^n + a^n + cdots+a^n )=a^m+n # ~~~LFLOOR ~~~~n개~~~ RFLOOR]

[정답]	④
[풀이]	① [eqn: a^m + a^m + cdots+a^m =a^m times n # LFLOOR ~~~~n개~~~ RFLOOR] ② [eqn: (a^m - a^m ) + ( a^m -a^m ) +cdots (a^m -a^m ) = 0] ③ [eqn: a^m div a^n = a^m-n = a^m over a^n](단, [eqn: n>m]) ⑤ [eqn: a ^m (a^n + a^n + cdots+a^n )=a^m times a^n times n # ~~~LFLOOR ~~~~n개~~~ RFLOOR][eqn: =a^{m+n} times n]
[TG]	밑이 같은 거듭제곱의 곱과 나눗셈에 따라 지수끼리 어떻게 계산하는지 주의하도록 알려준다.

	[eqn: 3^1]
		[eqn: 3^3]

오른쪽과 같은 표의 가로, 세로, 대각선에 들어있는 숫자의 곱이 모두 같아지도록 [eqn: 3^2 ,~3^4 ,~3^5 ,~3^6 ,~3^7 ,~3^8 ,~3^9]을 한 번씩만 써서 빈 칸을 채워라.

02

[정답]
[풀이]	밑이 모두 [eqn: 3]으로 같다. 따라서 숫자의 곱이 같아지려면 지수의 합이 같으면 된다. [eqn: 1]에서 [eqn: 9]까지 세 수의 합이 같아지도록 숫자를 채운다.
[TG]	거듭제곱의 곱은 지수끼리의 합으로 계산됨을 강조하고 이에 따라 자주 접하는 마방진 문제가 됨을 알려준다.

후속 학습

답 [eqn: 30]